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quinta-feira, 29 de setembro de 2011

EU DIGO E... PROVO!!!! Parte (I).

EU DIGO E... PROVO (mermo)!!!!!

Para que as nossas afirmações tenham aceitação de verdade, devemos provar a sua eficácia, a sua veracidade através de um tipo de teste, através de alguma... prova!
A matemática é uma ciência exata, disso ninguém tem dúvidas, porém, quando se faz, ou se realiza alguma operação matemática, para termos certeza que aquela operação foi feita corretamente, devemos empregarmos um tipo de teste, uma prova para a operação realizada (adição, subtração, multiplicação ou divisão) tipo: prova real ou prova dos noves fora.




Antes de começar a mostrar como se faz essas provas para cada uma daquelas operações citadas, eu quero chamar a atenção do leitor, para o nosso sistema de contagem, ou seja: o sistema decimal.
O mesmo consta de usarmos a base de contagem de dez em dez unidades em todas as classes e em todas as ordens que são constituintes de qualquer número escrito.





Além disso, o sistema decimal é um... sistema posicional. Isto significa que: cada algarismo lançado no  número terá dois valores, a saber: valor absoluto ( V. A.) que é o dele mesmo, em qualquer ordem em que ocupar e... valor relativo ( V. R.) que dependerá da ordem em que ele esteja ocupando.

Para formarmos um número, começamos a lançar os valores a partir das ordens colocadas mais à direita e as classes também. Veja isto:






Exemplo da formação das centenas:

000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 
010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 
020 021 022 023 024 025 026 027 028 029 
030 031 032 033 034 035 036 037 038 039 
040 041 042 043 044 045 046 047 048 049 
050 051 052 053 054 055 056 057 058 05
060 061 062 063 064 065 066 067 068 069 
070 071 072 073 074 075 076 077 078 079 
080 081 082 083 084 085 086 087 088 089 
090 091 092 093 094 095 096 097 098 099 
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 ...
e assim em diante!

A leitura de um número:
Vou através de exemplos numéricos, tornar compreensível o que acabo de falar.
Seja o número: 23 598 423 685 005 540 e ele possui:
6 classes, sendo 5 classes completas com os três algarismos e uma incompleta com 2 algarismos;
começamos denominando as classes no sentido da direita para a esquerda, assim: 
Unidades simples; milhares; milhões; bilhões; trilhões e... quatrilhões. 
Agora, de posse dessas informações, tomando-se o sentido inverso, lê-se por extenso o valor absoluto do número dado, como: vinte e três quatrilhões, quinhentos e noventa e oito trilhões, quatrocentos e vinte e três bilhões, seiscentos e oitenta e cinco milhões, cinco mil e quinhentos e quarenta unidades.

Operações fundamentais:

Número é ideia de quantidade e, para representar essas quantidades, fazemos uso dos numerais falados e escritos. 
E para um maior domínio, utilizamos os algarismos, que são sinais gráficos especiais (símbolos) que são combinados entre si, através das regras da contagem para permitir-nos representar as quantificações das grandezas e também de operá-las.
São muitas as operações já inventadas pelo ser humano, mas, no acervo delas encontramos quatro, que são chamadas de... operações fundamentais e que são: adição, subtração, multiplicação e a divisão.
São as operações matemáticas mais utilizadas por nós e são ditas fundamentais ( Principalmente a soma e a subtração) porque, mesmo que estejamos trabalhando com uma operação complexa, a toda instante, se prestarmos atenção, percebemos o uso dessas operações mais simples para terminar a tarefa com aquela.

As provas operatórias:

Então, essas operações mais simples, fundamentais, muito utilizadas no cálculo exige também, que sejamos precisos no seu manoseio e aí, temos que saber realizar ao finalizar cada uma delas, a aplicação de um teste, de preferência, que seja simples e rápido, para a confirmação do resultado obtido. São as chamadas... prova real e a prova dos noves fora.

A chamada, prova real, dependendo da operação empregada, poderá ser alguma propriedade constituinte dessa operação ou a obtensão do valor de um dos seus termos, através de uma equação.
Já a prova dos noves fora, é baseada na regra da contagem do sistema decimal e posicional, de base dez, que determina que em nenhuma posição ou ordem de um número, possamos colocar um valor acima de nove e, daí vem o nome... prova dos noves fora, na realidade isto que dizer: devemos obter o resto da divisão de um número inteiro pelo número nove! 
É aplicada nos termos da operação usada, para obtermos outros valores que serão novamente operados e dependendo do resultado final, onde, em se tendo valores iguais na confrontação, deduzimos o acerto ou não na operação.

Eu digo e... provo que acertei o resultado de uma ADIÇÃO, quando, por exemplo:
sejam dados os números... 216587121665, 120000546571, 2455101 e 25132812 e pede-se a soma dos mesmos, então eu faço:

                             216587121665      1ª parcela
                             120000546571      2ª parcela
                                      2455101      3ª parcela
                                 + 25132812      4ª parcela
                     ___________________
                             336615256149     Soma ou Total.

Agora, vem a pergunta, esse resultado está certo? É confiável? 
Então, para isto , vamos fazer a prova real da adição, que nada mais é, do que o uso de uma das propriedades da soma, a Propriedade Comutativa da Adição que determina: “ a ordem das parcelas não altera a soma ou total”! 
Então, o que vamos fazer é, simplesmente, somarmos no sentido vertical que fizemos, isso mesmo, vamos somar “ de baixo para cima...



                                336615256149    Soma ou Total.
                           _____________________________
                               216587121665      1ª parcela
                               120000546571      2ª parcela
                                         2455101      3ª parcela
                                    + 25132812      4ª parcela
                           ___________________
                               336615256149     Soma ou Total.

E veja: achamos o mesmo resultado! Como é muito difícil, errarmos duas vezes seguidas, assim eu posso dizer que 336615256149 Soma ou Total do início, é correto!

A Prova Real, realmente, podemos confiar no seu veredicto. Porém, mais demorada para se fazer, uma vez que temos de repetir a operação. Temos um outro tipo de prova com resultado mais rápido de ser obtido, mas essa prova, ao contrário da primeira, não é muito confiável e , já sabe. 
Trata-se da … Prova dos Noves Fora e que repetindo o que dissera antes, é um processo em que se obtém o resto da divisão de um número inteiro pelo número nove, ser ser preciso, de fato, realizar a divisão propriamente dita! Vamos desfazer... o mistério?
Tome um número inteiro, por exemplo: 35498651685215 e eu quero saber, qual é o resto da divisão desse número por 9 mas, sem ser preciso fazer a divisão. Vamos lá:

vamos da esquerda para a direita, somando um à um, os dígitos dese número mas deixando de fora tanto os zeros quanto os noves. Certo? 
E à medida que formos obtendo as somas dos outros algarismos, quando se tiver um valor igual ou maior que o nove, devemos obtermos o resto da divisão desse valor pelo número nove e continuamos até o final. 
Bem, trocando em miúdos, vamos ao exemplo prático:

de... 35498651685215... façamos... 3 + 5 + 4 + 9 + 8 + 6 + 5 + 1 + 6 + 8 + 5 + 2 + 1+ 5 e somamos...
==> 3 + 5 = 8! (Atenção! 8! não é fatorial do número, isto foi só para chamar a atenção!). 
==> 8 + 4 = 12 doze é maior do que 9 e... 12 : 9 = 1 com resto 3! 
Ou podemos obter este resultado fazendo... 12 noves fora igual ==> 1 + 2 = 3 (macete)! Bom, com esse resto igual a 3, continuamos com o próximo algarismo… o 8 (antes tinha o 9, que não se considera), então...
==> 8 + 4 = 12 e 1 + 2 = 3!  ( 12: 9 = 1 com resto 3!) e continua-se:
==> 3 + 8 = 11 e 1 + 1 = 2!  ( 11: 9 + 1 com resto 2!) e continua-se:
==> 2 + 6 = 8!  (já sabe, não é?
==> 8 + 5 = 13 e 1 + 3 = 4!  (já sabe, não é?)
==> 4 + 1 = 5!
==> 5 + 6 = 11 e 1 + 1 = 2!
==> 2 + 8 = 10 e 1 + 0 = 1!
==> 1 + 5 = 6!
==> 6 + 2 = 8!
==> 8 + 1 = 9 e 9 noves fora 0! ( 9 : 9 = 1 com resto igual a zero! Matou?)
==> 0 + 5 = 5! noves fora final, isto quer dizer que o resto da divisão do número 35498651685215 pelo nove é igual a 5.  ( 35498651685215 : 9 = 3944294631690 com resto 5!). Pode conferir!

Podemos realizar isso com os termos da adição, para se saber se fizemos tudo certo! Vamos ver?

Seja a soma realizada...
                                         216587121665      1ª parcela
                                         120000546571      2ª parcela
                                                   2455101      3ª parcela
                                              + 25132812      4ª parcela
                                   ___________________
                                         336615256149     Soma ou Total.

1º) traçamos uma pequena linha horizontal, preferencialmente, à direita da conta armada, e vamos achar os noves fora das parcelas.

                                              216587121665       1ª parcela
                                              120000546571       2ª parcela
                                                       2455101        3ª parcela
                                                  + 25132812        4ª parcela               _____________
                                          ___________________
                                              336615256149     Soma ou Total.

2º) Na parte de cima da linha, traçada agora, vamos colocar o valor dos noves fora, assim como fizemos com o número... 336615256149, encontrado com as parcelas, dígito após dígito, uma parcela após a outra e desse modo, vamos achar... 6
Portanto, lançamos... o 6 acima da linha.
 
                                              216587121665       1ª parcela
                                              120000546571       2ª parcela
                                                        2455101       3ª parcela                6
                                                  +  25132812       4ª parcela    _____________
                                      ___________________
                                              336615256149    Soma ou Total.

3º) Achamos agora os noves fora da soma ou total... encontraremos, também um 6! 
E lançamos abaixo da linha e desse modo temos:

                                          216587121665         1ª parcela
                                          120000546571         2ª parcela
                                                    2455101         3ª parcela                      6
                                              +  25132812         4ª parcela          _____________
                                     ___________________
                                           336615256149      Soma ou Total.                6


4º) Confrontamos os resultados e como são iguais, concluímos que a soma fora realizada corretamente!

Continuação em... “EU DIGO e... PROVO!!!!! Parte (II).

quarta-feira, 7 de setembro de 2011

EU QUERO TER... UM MILHÃO DE AMIGOS!!!!

20 000 vizualizações!!!!!

Olha aí, que presente!
No dia em que comemoramos a “Independência do Brasil”, a nação toda em festa e eis que o blog Matemágicas e Números alcança a expressiva marca das 20 000 visualizações!



                                                          Créditos: www.flickr.com

Obrigado meus amigos, por aumentarem a minha alegria!


                                                    créditos: www.albertoborges.com

Pensei numa maneira de premiar os meus leitores seguidores do blog no final do ano, da seguinte forma:
Em duas etapas, sendo a 1ª disparada agora... 07/092011 e indo até o dia 20/11/2011 e aí temos:

a) para os meus leitores que já são meus seguidores, então terão até o dia 30/11/2011 para postarem um comentário (não vale como anônimo) aqui nessa postagem, dizendo qual dos artigos postados, você escolhe o que mais lhe agradou e porquê. 
Por ordem de chegada dos comentários você receberá um número com o qual concorrerá na segunda etapa que vai de... 01/12/2011 até 20/12/2011 quando por ordem de chegada dos comentários, cumprindo uma tarefa fácil, escolherá uma centena com a qual espera acertar com a centena final formada, com o número do 1º prêmio da Loteria Federal no último sorteio do ano, a um prêmio que direi no dia 21/12/2011 qual será.


                                                  créditos: www.lisa-formaturas.blogspot.com                                            

b) para quem é leitor do blog e ainda não é seguidor, terá que fazê-lo juntamente seguindo o procedimento do comentário, já anteriormente explicado, para quem já é meu seguidor.

Na 2ª etapa, a partir do dia 21/11/2011 eu direi qual é a tarefa (fácil) a fazer para me desafiar participando... da “maior matemágica“ que eu já criei. 
Quem o fizer, por ordem de chegada com o comentário da tarefa, escolherá uma centena e com a qual (acertando em cheio ou para quem mais se aproximar por falta ou excesso da centena final do 1º prêmio da Loteria Federal no último prêmio do ano) concorrerá ao prêmio (ainda surpresa) que vou sortear.

Vamos continuar com essa vontade de crescimento como nação civilizada, forte e feliz, mas lembre-se: a primeira tarefa a ser cumprida para isso é... a educação!



                                             créditos: www.comtempolivre.blogspot.com

Obrigado meus amigos e até breve!!!!!

Um forte abraço!!!!!

sexta-feira, 2 de setembro de 2011

FATORAÇÃO DE HORNER... É UM NEGÓCIO DA CHINA!!!!!


Antes de mostrar, o que é a... " Fatoração de Horner", quero lembrar que os professores ao ensinarem aos seus alunos o que é valor numérico (v. n.) de um polinômio, falam algo assim: “substituímos na equação dada, a letra que representa a variável por um número indicado e efetuamos os cálculos cujo resultado, é o valor numérico desse polinômio quando a variável assume esse determinado valor”!
 














Crédito: www.marlivieira.blogspot.com




                         






   
                                            



                                                     
                                                                                    Crédito:lwww.livroszura.com.br   



   
                                Crédito: www.matyarteedecor.blogspot.com                                   



                               
                                                                 









Crédito: www.tiara-lugaresmaravilhosos.blogspot.com

O polinômio dado sendo do 1º grau, não produz nenhuma dificuldade para os alunos calcularem vários v. n. que se obtêm para vários valores atribuídos para a variável.
Exemplo: seja P(x) = 3 x – 1... para x=2, x=5, x=13 e x=15. 
Então fazemos: 
P(2)= 3 * 2 -1 ==> P(2) = 6 -1 ==> P(2) = 5 (v. n.); 
P(5)= 3 * 5 – 1 ==> P(5) = 15 -1 ==> P(5) ==> 14 (v. n.); 
P(13) = 3 * 13 – 1 ==> P(13)= 39 – 1 ==> P(13) = 38 (v. n. ) e 
P(15) = 3 * 15 – 1 ==> P(15) = 45 -1 ==> P(15) = 44 (v. n. ) e assim, em cada um desses casos, basta o aluno realizar uma multiplicação e uma soma para obter um v. n! Agora, vejamos o que acontece se o polinômio fosse do 2º grau, ou seja: 
P(x)= 3 x ^ 2 - 1 para x=2, x=5, x=13 e x=15. 
 Então nesse caso fazemos: 
P(2)= 3 * 2^2 -1 ==> P(2) = 3 * 4 -1 ==> P(2) = 12 -1 = P(2) = 11 (v. n.); 
P(5)= 3 * 5^2 – 1 ==> P(5) = 3 * 5*5 -1 ==> P(5) 3 * 25 – 1 P(5) = 75 -1 ==> p(5) = 74 (v. n.); 
P(13) = 3 * 13 ^ 13 – 1 ==> P(13)= 3 * 169 – 1 ==> P(13) = 507 – 1 ==> P(13) = 506 (v. n. ) e P(15) = 3 * 15 ^15 – 1 ==> P(15) = 3 * 225 -1 ==> P(15) = 675 – 1 ==> P(15) = 674 (v. n. ). 

Portanto, em cada uma dessas buscas de v. n. o aluno teria que fazer duas multiplicações e uma soma  mas, realizaria mais uma multiplicação e uma soma a mais (caso o polinômio fosse completo). 
E isso continua com outros polinômios de grau n mais elevado e sendo obrigado a realizar... mais e mais multiplicações e somas de termos, principalmente, se o polinômio dado for da forma completa. 

Nessa hora, se o indivíduo não dispuser de pelo menos, de uma calculadora simples a sua tarefa deverá pelo menos se estender por vários minutos do seu precioso tempo (coisa que será contornada pelo uso de calculadoras programáveis e de computadores) e dependendo da dimensão da tarefa, a pessoa acaba desistindo dela. 
O uso de uma calculadora simples, no entanto, apenas minimiza o sofrimento e o tempo de execução. 
Mas, aí faz-se uma pergunta de praxe: “ não há uma maneira mais camarada para se calcular isso”? Dependendo de mim, eu respondo: 
“claro que existe! E atende pelo título de... fatoração de Horner” assim denominada por ter sido criada pelo matemático inglês, William George Horner (1786-1837). 
Este método foi apresentado no dia 01/07/1817 à Royal Society e também, no mesmo ano, teve a sua publicação lançada no “Philosophical Transation of The Royal Society” mas, e bom que se diga, segundo se fala, que o Horner embora diga que fora o inventor do metodo, os méritos devem ser dados ao matemático chinês...
 


                                       Crédito: www.marcosgeograficos.org.br


Zhu Shijie (1270-1330) ou seja: 500 anos antes de Horner apresentar esse método como sendo da sua invenção, o chinês Zhu Shijie já o inventara e... de quebra também teria inventado o dispositivo que nós conhecemos com... triângulo de Pascal

Quando fiz o curso de matemática na UFRN, paguei a disciplina de... cálculo numérico e no livro adotado... dentro do acervo de algoritmos existentes ali, havia: Newton, Lagrange, Taylor e outros, quase que... como uma curiosidade, estava esse método. 
 O método de fatoração de Horner, quando empregado na procura de v. n. dessas equações, facilita de tal forma que, mesmo que efetuemos os cálculos manualmente, tenhamos redução de tempo nessa tarefa. 
Vamos apresentá-la: seja...
 P(x) =an x^n + an – 1 x^n-1 + a2x^2 a1x + a0 
        =(anx^n-1 + an-1x^n-2 +... + a2x + a1)x + a0 
        =((anx^n-2 + an -1x^n-3 + … + a2)x+ a1)x + a0 . . . . . . . . . 
     =((... (anx + an-1)x +... + a2)x + a1)x + a0. 
 // n-1 parênteses em sua forma algébrica, mas, já notamos por aí que, todas as potências são transformadas em multiplicações de sorte que, quando tivermos polinômios completos de grau n, faremos n multiplicações e n somas. 
Ilustremos isso com exemplos : o primeiro... P(x)= 3 x ^ 2 - 1 que é um polinômio do 2° grau, incompleto o qual, anteriormente já resolvemos pelo método tradicional, então, fatorado pelo método de Horner, fica assim: 
ordenando-se em ordem decrescente segundo as potências da variável x, assim... 
P(x)= 3 x ^2 + 0 x – 1; e aplicando Horner... obtemos:
 
P(x)=(3*x + 0)x - 1. Muito fácil, não é? E para x=2, x=5, x=13 e x=15 realizamos:
 
P(2)=(3*2 + 0)2 -1==> P(2)= 6*2-1==> P(2)=12-1==> P(2)=11 v.n. 
P(5)=(3*5 + 0)5-1==> P(5)=(15)5-1==> P(5)=75-1==> P(5)=74 v.n. 
P(13)=(3*13 + 0)13-1==> P(13)=(39)13-1==> P(13)=507-1==> P(13)=506 v. n. 
P(15)=(3*15 + 0)15-1==> P(15)=(45)15-1==> P(15)=675-1==> P(15)=674 v. n. procurado. 
Vamos dar mais dois exemplos onde: primeiro faremos a fatoração e em seguida procuramos o v. n. para o x=5: 
seja... P(x)=2x^4 – 5x^3 – 2x^2 + 4x – 8 e fatorando temos: 
P(x)=(2x^3 – 5x^2 – 2x + 4)x – 8 
P(x)=((2x^2 – 5x -2)x + 4)x -8 
P(x)=(((2x – 5)x – 2)x + 4)x – 8 pronto, agora para achar o v. n. para x=5, temos:
 
  P(5) =((( 2*5 -5)5 -2)5 +4)5 -8 
  P(5) =((( 10 -5)5 -2)5 +4)5 -8
  P(5) =((5*5 -2)5 +4)5 -8
  P(5) =((25 -2)5 +4)5 – 8
  P(5) =((23*5 +4)5 -8
  P(5) =(115 +4)5 -8
  P(5) =119*5 -8
  P(5) = 595 -8
  P(5) =587 que é o v. n. procurado.
 Veja que realizamos quatro multiplicações e quatros somas. 
Passemos ao próximo polinômio: 
P(x)=3x^9+2x^8–10x^7+2x^6–5x^5–3x^4+2x^3–6x^2+3x-5 
P(x)=(3x^8+2x^7–10x^6+2x^5–5x^4–3x^3+2x^2–6x+3)x-5 
P(x)=((3x^7+2x^6–10x^5+2x^4–5x^3–3x^2+2x–6)x+3)x-5 
P(x)=(((3x^6+2x^5–10x^4+2x^3–5x^2–3x+2)x– 6)x+3)x-5 
P(x)=((((3x^5+2x^4–10x^3+2x^2–5x–3)x+2)x– 6)x+3)x-5 
P(x)=(((((3x^4+2x^3–10x^2+2x–5)x–3)x+2)x–6)x+3)x-5 
P(x)=((((((3x^3+2x^2–10x+2)x–5)x–3)x+2)x–6)x+3)x-5 
P(x)=(((((((3x^2+2x–10)x+2)x–5)x–3)x+2)x– 6)x+3)x-5 
P(x)=((((((((3x+2)x–10)x+2)x–5)x–3)x+2)x– 6)x+3)x-5 está aí a nossa fatoração de Horner para o polinômio dado. Agora vamos calcular o v. n. para o x=7 (vamos pintar o sete?), assim... teremos:
 
P(7)=((((((((3*7+2)7–10)7+2)7–5)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=((((((((21+2)7–10)7+2)7–5)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=(((((((23*7–10)7+2)7–5)7–3)7+2)7–6)7+3)7-5 
P(7)=(((((((161–10)7+2)7–5)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=((((((151*7+2)7–5)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=((((((1057+2)7–5)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=((((((1059)7–5)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=(((((1059*7–5)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=(((((7413–5)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=(((((7408)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=((((7408*7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=((((51856–3)7+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=((((51853)7+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=(((51853*7+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=(((362971+2)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=(((62973)7– 6)7+3)7-5 
P(7)=((62973*7– 6)7+3)7-5 
P(7)=((2540811– 6)7+3)7-5 
P(7)=(2540805*7+3)7-5 
P(7)=(17785635+3)7-5 
P(7)=17785638*7-5 
P(7)=124499466-5 
P(7)=124499461 que é o v. n. procurado.
 
Note que, com nove multiplicações e também nove somas, realizamos a tarefa e... só pela economia de tempo para se calcular esses valores... é um negócio da China! 
E viva a economia!!!!! .

Obs: A postagem é um resumo do conteúdo da minha apresentação como palestrante no ano passado na XXII Semana de Matemática da UFRN no Campus Universitário de Natal RN.