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sexta-feira, 4 de fevereiro de 2011

EXTRAIR A RAIZ QUADRADA... SEM USAR CALCULADORA?

Cursava engenharia mecânica na UFRN lá para o ano de 1983, mais ou menos, quando houve uma greve de professores. Passados 30 dias, mediante entendimentos com a reitoria e sindicato, veio o ritual ( é costumeiro no Brasil) da reposição da carga horária atrasada e como sempre acontecia... aulas aos sábados.
Em uma dessas aulas, ocorreu que: para se chegar à resposta de um problema que continha reposta no livro, tinha-se que extrair a raiz quadrada de um certo número com aproximação a menos de um milésimo. Então, o professor perguntou – quem tem uma calculadora aí? Como ninguém havia levado uma, o professor disse: - que tipo de alunos são vocês, que vão estudar e não se armam de uma calculadora? E os alunos, dando o troco: - e que qualidade de professor é essa, que sai pra dar aula e não leva uma também? Brincadeiras à parte, o fato é que precisávamos do resultado para o término do problema proposto.




O professor disse então: - quando eu estudei o assunto sobre extração de raízes quadradas, lembro que o meu professor me ensinou uma forma manual de se chegar ao resultado delas... com precisão de uma calculadora! Mas, não me lembro e portanto, o nosso probl... oi? O que foi Valdir? - Eu sei fazer a extração da raiz quadrada por esse processo! - Ah é? E você pode vir fazer ele aqui na lousa para calcular essa raiz quadrada para nós... Valdir? - Pois não! Eu fiz o cálculo e o resultado bateu! E assim, resolvi a falta da calculadora e o professor ainda me pediu para relembrá-lo sobre aquele método que passo agora a explaná-lo aqui.

Seja, por exemplo: o número... 40110 (radicando) cuja raiz quadrada, deverá ter uma precisão a menos de um milésimo. Como fazer o cálculo se não tivermos uma calculadora à mão? Lançamos mão do seguinte dispositivo...
1º – Como queremos a raiz com aproximação na casa dos
milésimos, devemos acrescentar após a vírgula (ou ponto) decimal
(nesse caso, está invisível logo após o zero à direita do número) um par de zeros para cada uma dessas casas decimais na raiz que queremos calcular (sempre à direita da marcação decimal de um número, deverá constar uma quantidade par de casas decimais). Feito isso, agora, separamos o número dado, no sentido da direita para a esquerda, conjuntos de pares de dígitos, assim:
utilizamos o então o dispositivo contendo no radicando a presença daquelas seis (04 é a 1ª) duplas de
algarismos.

2º – Começaremos a operação com o número formado pela 1ª dupla de dígitos à esquerda (a qual poderá ser incompleta, como nesse caso) o 4 e como é um quadrado perfeito usaremos o 2 que é a sua raiz quadrada exata (se o número não fosse um quadrado perfeito, então em vez do 2 usaria-mos um outro número, cujo quadrado, se aproximasse do valor do número, por exemplo: caso o número fosse 11 em lugar do 4, nesse caso o número utilizado seria o 3, pois o 3² = 9, que é o quadrado mais próximo do 11), o qual vai ser o 1º dígito da raiz para o número 40110 e como: 2² = 4, então, o 4 no radicando será subtraído desse quadrado e assim temos:
3º – juntamos à diferença de 4 – 4 = 0, os algarismos da 2ª dupla, que são: 01 e imediatamente, separamos o último algarismo da direita que é o 1. Temos na raiz aproximada 2 e tomamos o seu produto por 2 i. É: 2 x 2 = 4. Agora fazemos a divisão de 00 por 4, o que encontramos... 00 : 4 = 0. Assim... o zero vai juntar-se ao 2 na raiz parcial que agora passa a valer 20.
4º – Baixamos a próxima dupla de algarismos que são: 10, separamos o último algarismo na direita e o número formado à esquerda será dividido pelo produto de 20 x 2 = 40 i. É: 11 : 40 = 0. E mais uma vez, esse quociente zero irá se juntar ao número que está sendo a raiz parcial que é o 20 e assim, a nova raiz parcial será 200.
5º – O ritual de sempre: baixamos a próxima dupla que é: 00 (mas, ATENÇÃO! Essa dupla de algarismos encontra-se logo após a colocação da vírgula ou ponto decimal no radicando, por causa disso, devemos juntar aos algarismos da raiz parcial, à direita deles, também essa vírgula ou ponto decimal) juntando-se a 110, separamos o último algarismo à direita, o 0 e ficamos com 1100 que vai ser dividido por 200 x 2 = 400, daí... 1100 : 400 = 2 vale o quociente da divisão aproximada. Nesse caso o 2 encontrado vai juntar-se ao 400, obtêm-se… 4002 e fazemos... 4002 x 2 = 8004 e como esse produto é menor do que 11000 podemos levar o 2 (quociente aproximado de 1100 : 400) lá para a raiz parcial que se apresentará o valor de... 200,2 que é uma aproximação a menos de um décimo para a raiz do radicando. Nos casos ( pode acontecer) por exemplo: 4002 x 2 = 8804 e se 8004 fosse maior do que 11000? Então, faria-mos o abaixamento do valor daquele quociente em uma unidade e calcularia-mos assim... 4001 x 1 = 4001 onde, se esse valor ainda fosse maior que 11000, mais uma vez viria o abaixamento em uma unidade e novo produto... 4000 x 0 = 0 (bom, chegando ao quociente zero, o mesmo tem que se juntar à direita dos algarismos na raiz parcial) o qual seria mais um dígito na raiz parcial.
6º – Continuando... fazemos a subtração entre: 11000 – 8004 = 02996 e juntamos a ele a próxima dupla de algarismos no radicando, que é... 00 e formamos... 299600, separamos o último
algarismo da direita (o zero) e procuramos o quociente entre 29960 e o dobro do valor da raiz parcial (não consideramos a vírgula ou ponto decimal nessa hora)... 2002 x 2 = 4004, assim...
29960 : 4004 = 7 e na continuação... 40047 x 7 = 280329 e como da vez anterior, ele é menor que 299600... então levamos o 7 encontrado para se juntar aos outros algarismos da raiz parcial que passará a valer 200,27 agora já com uma aproximação a menos de um centésimo para o valor da raiz quadrada procurada para o radicando 40110,000000.
7º – Também, como da vez anterior, para continuar a procura, devemos achar a diferença entre... 299600 – 280329 = 019271, baixamos a próxima dupla do radicando... 00, separamos o algarismo da direita ( vai ser o zero) e vamos ver quanto dar o quociente entre 192710 e o dobro da raiz parcial ( sem a vírgula ou ponto decimal) até o momento, que é: 20027 x 2 = 40054, portanto, teremos: 192710 : 40054 = 4 e aí, fazemos... 400544 x 4 = 1602176 e ainda, como esse valor é menor que 1927100, desse modo obtemos mais um algarismo para a raiz quadrada procurada,
que já era igual a 200,27 e passa a ser... 200,274 e com essa aproximação a menos de um milésimo, que era a aproximação desejada desde o início das operações, podemos concluir o nosso trabalho afirmando que: a
raiz quadrada aproximada a menos de um milésimo para o número 40110... é: 200,274. Resultado esse que podemos conferir com o apresentado por uma calculadora, pois esse método manual permite dígito após dígito, atingir a mesma precisão de uma máquina c. q. d.

*********************************************************************************
ATENÇÃO!!!! Para aqueles leitores que gostam de ler ou saber sobre as minhas invenções, 
postei uma nova criação (2 em 1) com o título... "Nuvem Sólida" aqui no blog na página 
"PENSO, LOGO INVENTO"!!!!!
Obrigado!!!!!
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20/08/2014
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Heads up !!!! For those readers who like to read or know about my inventions, I 
posted a new creation (2 in 1) with the title ... "Solid Cloud" here on the blog page 
"THINK, THEN THE INVENTION" !!!!! 

Thank you !!!!!
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21 comentários:

Renato Brodzinski disse...

Legal, eu não sabia disso!

O algoritmo até que é parecido com o da divisão... (abstraia, na verdade não tem nada a ver, mas fazendo a conta até aparecem algumas semelhanças).

Ótimo post, parabéns! (ah, gostei das figuras, depois você vai me ensinar a fazer, hahahaha)

4 de fevereiro de 2011 15:03
Francisco Valdir disse...

Olá, Renato!
Fico feliz em saber que lhe fui útil nessa sua busca por conhecimentos (aí, seguindo o conselho do et Bilu, hein? KKKKKKK!!!). Obrigado, amigo! bom, as figuras... claro que ensino e aí, você vai desenhar novamente uma certa história com um personagem chamado Renato, que vivia em um mundo nebuloso...!? KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK!!!!!
Um abraço!!!!!

4 de fevereiro de 2011 15:57
Giselle disse...

Oi, Francisco.
Conforme prometido, aqui estou eu! rsrs...
Ah gostei como ficou seu site sim, está bem legal e bem completo.
E interessante o artigo sobre extrair raiz quadrada sem calculadora. Vou dar uma estudada aqui!! rs
Abração, Francisco.
Ficou muito bom o site! =)

5 de fevereiro de 2011 19:54
Francisco Valdir disse...

Olá, Giselle!
Sabe Giselle? Eu procuro ter alternativas para enfrentar uma situação como essa aí, que eu relatei no início do texto, pois... as calculadoras e os computadores são ótimos ajudantes nossos para dar conta dos cálculos, mas, na ausência deles, gastando-se mais tempo, tinta e papel, poderemos também dar conta de certas tarefas e... claro! Basta que se conheça um método prático para isso! Espero ter contribuído nesse aspecto! Obrigado pelos elogios e volte sempre!
Um abraço!!!!!

6 de fevereiro de 2011 02:56
jonasportal disse...

Grande Mestre Fco Valdir!
Muito grato pela suas observações na minha postagem sobre o uso da calculadora. Havemos de concordar que falta boa vontade para esquecer um pouco essas máquinas e partir para a "ponta do lápis".
Mas é muito interessante esse método de calcular raízes que vc postou. Já pensou em fazer um vídeo explicando?
Abraços Calorosos neste 13/03, o dia do PI.

14 de março de 2011 11:33
Francisco Valdir disse...

Olá, Jonas!
É isso, meu amigo! Mas, vamos lutar para uma mudança de atitude desse pessoal!
Já está nos meus planos, sim! Esse e outros posts. O problema é que eu sou neófito nessas artes e os meus conselheiros de informática, meus sobrinhos aborrecentes, não gostam de ensinar, mas, aos poucos, eu vou dando cabeçadas e vai surgindo algo e que tende a melhorar!
Opa! Segundo a minha postagem sobre o dia do PI, vc está contaminado, pois, não é 13/03 e sim... 14/03. KKKKKKKKKKKKK!!!!!! É brincadeira! Rsrs!
Um abraço!!!!!

14 de março de 2011 15:13
Joao Labrego disse...

Conheço este método de calcular raiz quadrada desde meus 12 anos de idade e hoje estou com 48 anos de idade.

Tentarei postar aqui a variação do método que permite o cálculo de outras raízes de índices igual e maiores que 2.

1) Separa-se os algarismos do radicando a partir da direita para a esquerda de 2 em 2, 3 em 3, 4 em 4, etc. conforme o índice do radical seja 2, 3, 4, etc.

Exemplo: raiz cúbica de 15625 -> 15.625

2) Determina-se a raiz enésima (2, 3, 4, etc.) do primeiro grupo à esquerda do radicando. Exemplo: raiz cúbica de 15 = 2. 3) Junta-se o primeiro grupo já calculado ao segundo grupo à esquerda.

Exemplo: 15.625

4) Tenta-se agora justapor um algarismo de 0 a 9 à direita da primeira raiz cúbica calculada (2) de modo que o cubo desse número formado seja igual ou imediatamente menor que o radicando.

Exemplo: 21 x 21 x 21 = 9261, 22 x 22 x 22 = 10648, 23 * 23 * 23 = 12167, 24 * 24 * 24 = 13824, 25 * 25 * 25 = 15625.

Logo, a raiz é exata e igual a 25.

4) Caso a raiz não fosse exata e quiséssemos continuar sua extração até uma certa quantidade de casas decimais, bastaria acrescentar 2, 3, 4, 5, etc. zeros à direita do radicando conforme o índice da raiz seja 2, 3, 4, 5, etc. e repetirmos os passos anteriores.

31 de março de 2012 19:41
Francisco Valdir disse...

Olá, João Labrego!!!!

Lembro de ter calculado algumas vezes, uma raiz cúbica por esse processo, o qual só recordava ser um pouco diferente do que se faz para a extração de uma raiz quadrada, pela maneira que agora você demonstrou e eu imediatamente recordei dela, em se acumular do lado do radicando, esses grupos de três à três, formados da direita para a esquerda, podendo à esquerda termos a presença de três, dois ou apenas um só algarismo.
Eu até que tentei me lembrar desse processo, muito parecido com o que fiz na postagem aqui sobre a extração da raiz quadrada, mas não consegui!

Imagino que o amigo deve gostar de matemática, talvez possua um blog e seja formado também nessa ciência ou não? Gostaria que fizesse contato comigo através do meu endereço: franciscovaldir61@gmail.com para tratarmos de como levar esse seu conhecimento de forma mais abrangente possível aqui na rede! E se possuir blog, seria melhor ainda!

Meus parabéns, por ter feito um comentário tão construtivo e já tão útil, complementando a minha postagem tão procurada aqui no meu blog! Muito honrado com a sua visita e... volte sempre!

Um abraço!!!!!

1 de abril de 2012 04:14
Educadores Multiplicadores disse...

Olá Multiplicador Valdir, boa tarde! Felicidades pra sua família!

Parabéns, seu blog e você são destaques no Educadores Multiplicadores por ter contribuído à educação. Link abaixo:

http://www.educadoresmultiplicadores.com.br/2013/04/educadores-multiplicadores-de-mes-de.html

Caso queira pegar o selo que caracteriza o destaque, fique a vontade. Lembramos que colocar o selo do “Top Caneta de Ouro” e/ou “Top comentarista” é opcional.

O EDUCADORES MULTIPLICADORES e o MARQUECOMX agradecem pela amizade e confiança em nosso projeto, que é de todos nós.

Abraços, fiquemos na Paz de Deus e até breve.

IRIVAN

1 de abril de 2013 10:51
Francisco Valdir disse...

Olá, Educador Multiplicador mor, Irivan!!!!

Obrigado, pelas felicitações pelo meu trabalho e desempenhos!!!!
Resolvi levar um selo e na base dele, vou informando em quais meses estou sendo agraciado com esse prêmio!!!!
A parceria continua, firme e forte com todos os amigos e espalhando os conhecimentos!!!! para mim é um prazer e uma honra estar aqui no EM!!!!

Um abraço!!!!!

2 de abril de 2013 09:01
Nilton Silva disse...

Não entendi nada

31 de agosto de 2013 15:38
Francisco Valdir disse...

Olá, Nilton Silva!!!!

Amigo, não siga aquelas instruções naquela imagem após a nona linha do início da postagem sobre o plantio, cuidados e a colheita de uma raiz quadrada. Aquilo é uma... brincadeira!!!!!

Não é isso???? Desculpe!!!! Mas. o que fazer???? Bem, até agora eu pensava que todos os leitores houvessem entendido de como fazer a extração, segundo, om que eu informo ali!!!! Como não é assim... e até para premiar a sua coragem em dizer que não entendeu a coisa, então, especialmente para você, brevemente estarei lançando esse assunto em outra nova postagem para tentar acabar com essa sua incompreensão!!!!
Obrigado, pela sua visita e o seu comentário e... volte sempre!!!!
INTEL LOGO!!!!

Um abraço!!!!!

1 de setembro de 2013 10:18
Francisco Valdir disse...

Olá, Nilton Silva!!!!
Lembei que tenho outro post aqui no blog tratando da extração da raiz quadrada. Por favor, acesse por aqui...

http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=4361535689185751811#editor/target=post;postID=5024866719784087640;onPublishedMenu=posts;onClosedMenu=posts;postNum=19;src=postname

e talvez, como ele é um texto mais "enxuto", possa lhe dar a clareza necessária para a compreensão do processo!!!!
Mas, pelo som pelo não, farei uma nova postagem sobre esse algoritmo, como já falei!!!!
INTEL LOGO!!!!

Um abraço!!!!!


1 de setembro de 2013 12:43
Otacilio Meirelles disse...
Este comentário foi removido pelo autor.
Otacilio Meirelles disse...

Raiz Quadrada - Raiz Cúbica

Existe uma outra formula muito simples de achar a raiz quadrada com papel e lápis. Por exemplo: O número 11.136. Se você tem uma certa noção matemática sabe de saída que a raiz quadrada mais próxima de 11.136 é 100, a raiz quadrada de 10.000. e tudo ficará mais fácil. Porém pode se começar com qualquer divisor.

Vamos usar este método mais trabalhoso para mostrar que com qualquer número divisor chega-se a raiz quadrada de um número. Aqui vamos usar a aproximação contínua pela divisão e adição. Dependendo do número escolhido, em um momento se aproxima para mais, no seguinte pra menos, e vice versa.

Digamos que fossemos um físico perdido em um planeta distante; cujo magnetismo anulou todos os computadores da nave. E como se não bastasse, ele teria que resolver este problema achando a raiz quadrada de um número, com a diferença de um para um bilhão. E o número é 11.136. É claro que um físico de cabeça pegaria loco o número 100 para se orientar, e de saída iria direto para o 105, em busca dos irracionais.

Mas aqui o nosso físico acostumado a o computador está meio perdido então ira pegar um número divisor aleatório,por exemplo 50. Ficará mais difícil, mas a razão é aprender.

1) -Ex:
11.136 / 50 = 222,72
50 + 222,72 = 272,72
272,72 / 2 = 136,36

2) - Voltamos a o começo:
11.136 / 136,36 = 81,66617776474
136,36 + 81.66617776474 = 218,02617776474
218,02617776474 / 2 = 109,01308888237

3) - Voltamos a o começo:
11.136 / 109,01308888237 = 102,15287094576544
109,01308888237 + 102,15287094576544 = 211,1659598281354411
211,1659598281354411 / 2 = 105,58297991406772055

4) – Voltamos ao começo:
11136 / 105,582979914067720 = 105,471544836709574999
105,582979914067720 + 105,471544836709574999 = 211,054524750777294999
211,054524750777294999 / 2 = 105,527262375388647499

5) – Voltamos a o começo:
11136 / 105,527262375388647499 = 105,527232956980109518
105,527262375388647499 + 105,527232956980109518 = 211,0544953323687569
211,0544953323687569 / 2 = 105,5272476661843784

6) – Voltamos a o começo:
11136 / 105,5272476661843784 = 105,527247666182706 ( Aqui está)
Vamos a prova!
105,5272476661843784 +105,527247666182706 = 211,0544953323670844
211,0544953323670844 / 2 = 105, 5272476661835422

R = 105, 5272476661835422² = 11.136,0000000000398539...

Como a resposta que queremos é de um para um bilhão; cortamos as últimas casas além desta diferença e temos: 11.136,000000000 – ou seja, exatos; 11.136

Se fosse de um para um trilhão teríamos 3 dígitos de erro.


O Desafio:
De Ciracusa, Arquimedes mandava cartas-desafios com problemas de matemática para os matemáticos em Alexandria resolverem: O desafio aqui, é encontrar a raiz cúbica de um número, pelo método lápis-papel. E claro, publicar. Vejam bem, não estou desafiando com o que já sei, mas com o que quero saber.


31 de maio de 2015 08:18
Otacilio Meirelles disse...
Este comentário foi removido pelo autor.
Otacilio Meirelles disse...
Este comentário foi removido pelo autor.
Otacilio Meirelles disse...
Este comentário foi removido pelo autor.
Irivan disse...

Excelente postagem!

Acompanho este espaço já algum tempo, e posso afirmar que aqui tem informações e dicas valiosíssimas para aqueles que gostam e precisam estudar sobre a Química.

Aproveito o momento para deixar um convite para você visitar o blog QUÍMICA PERIÓDICA - Aprender Química de maneira fácil e divertida!

Deixo meus parabéns ao proprietário(a) deste espaço e que você continue nos trazendo conhecimentos valiosos.

25 de fevereiro de 2017 16:43
Francisco Valdir disse...

Olá, Irivan!!!!
Muito obrigado, por tudo e, brevemente estarei postando artigos novos, inclusive, reeditando os desafios dinâmicos, tipo: "Caçadores Das Curvas Escondidas". Também, verei o blog QUÍMICA PERIÓDICA, visitando-o, seguindo-o e compartilhando-o!!!!
Bom carnaval e INTEL LOGO!!!!
Um abraço!!!!!

25 de fevereiro de 2017 18:05
Francisco Valdir disse...
Este comentário foi removido pelo autor.

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