MATEMÁGICAS

MATEMÁGICAS
Como se tornar um matemágico de sucesso.

NÚMEROS

NÚMEROS
Conheça o maravilhoso universo dos números

DESAFIOS

DESAFIOS
Encontre e descubra aqui o seu nível de desafio

RECREIO

RECREIO
Matemática no recreio tem tudo a ver. Divirta-se!

Seguidores

Vá por mim... "siga o mestre"!!!!!


  • Poderá ler aqui:
  • Minhas descobertas matemáticas.
  • Que estrago todo é esse... menino?
  • Conceitos.
  • Como apresentar as quantizações?
  • Fatoração de Horner e algo mais sobre calculadoras.
  • O selo de Maomé - Solução do desafio com arte postagem da página inicial.
  • PÉ EMBAIXO NO ACELERADOR!!!!
  • Frase enigmática indutiva da postagem: DIGO E... PROVO!!!! Parte (IV).  
  • Aviso importante!!!!!





  MINHAS DESCOBERTAS MATEMÁTICAS

   Desde quando ainda fazia o primário, eu já buscava soluções para enfrentar os estudos de matemática. Matéria odiada pela maioria dos estudantes, mas eu já muito cedo, como era muito curioso à respeito de máquinas e outros assuntos ligados a ciência e a tecnologia, percebi de forma instintiva, a importância da matemática para a compreensão e o domínio desses e outros assuntos de outras áreas. Por isso, aquela resistência inicial para estudar e memorizar as tabuadas (multiplicação), foi vencida por mim, através da minha primeira invenção matemática, um método que permitia que quando estudava uma tabuada menor, respondesse à questões de tabuadas maiores (propriedade comutativa da multiplicação), ou seja: as últimas tabuadas eram dominadas com mais facilidade do que as iniciais.
E isso foi só o começo. Mais tarde, estudando como sempre fazia, i.é, procurando saber (através de leituras e perguntas mil) qual a origem do conteúdo estudado, quais métodos poderiam ser usados e   outras pesquisas. E assim, cruzando informações e comparando métodos, fui capaz de inventar outros métodos (algoritmos) para facilitar os estudos matemáticos e até enfrentar os chamados, problemas impossíveis (pela complexidade, pelas condições exigidas e ou pela demanda de tempo). 
Fazendo uma listagem cronológica em ordem crescente de antiguidade, temos:

 01- Como estudar e memorizar tabuadas.
 02- MMC não comum.
 03-  Soma e subtração de frações usando máximo MMC relativo.  
 04-  Matemágicas.
 05-  Dispositivo fracionador de comprimentos. 
 06-  Visão geométrica para quadrados.
 07-  Visão geométrica para cubos.
 08-  Como obter potências.
 09-  Tri secção angular é uma questão de tempo.
 10-  Como obter quadrados mágicos.
 11-  Como obter imagens de funções.
 12-  Como obter derivadas de funções.
 13-  Como obter integrais de funções.
 14-  Como descobrir funções através de imagens produzidas por elas.
 15-  Matriz crivada.
 16-  Resolução do duplo crescente otomano.
 17-  Dominando o caos.


**********************************************************************************************************


QUE ESTRAGO TODO É ESSE... MENINO?????
Agora que se faz uso excessivo de calculadoras ou de computadores para se fazer os cálculos, você poderá até dizer que o que eu vou dizer, já é passado. Pode ser, até que você tenha razão,,mas, adianto que... há muitos lugares ainda aí pela Terra, que talvez, devido às condições financeiras e/ou recursos tecnológicos, os cálculos são realizados manualmente e poderá ser que, mesmo por aqui, surja uma situação onde somente, papel, lápis e necessidade de realizar o produto entre dois números, é o único jeito! Eu tenho notado que nessas ocasiões, a maioria dos calculistas, realizam o produto de certos números, onde o multiplicador contém muitos zeros e aí, desperdiçam tempo, papel e tinta para executarem a multiplicação, por exemplo: seja multiplicar o número 35462505795211154652584 pelo multiplicador... 20000000100000000000 e aí, a pessoa faz:





O total da multiplicação, na minha opinião, com estrago de material e perda de tempo, pois a mesma, poderá ser feita assim:


                                                                                          35462505795211154652584 
                                                                                         X     20000000100000000000
                                                                       __________________________________
                                                                    3546250579521115465258400000000000
                                          +        709251115904223093051680000000
                                              ________________________________________________
                                                    709251119450473672572795465258400000000000 


e aí você pode comparar as duas execuções. Vamos através de uma imagem, dar mais um exemplo sobre essa prática... 
    


e agora eu pergunto: " Você é a favor de uma economia"?

**********************************************************************************************************



CONCEITOS

LÓGICA – Ela nos fornece leis por meio das quais podemos julgar se as conclusões são ou não legítimas, mas, não nos garante que sejam verdadeiras.

TEOREMA – É uma proposição (isto é: uma afirmação que se faz), deduzidas de outras já aceitas anteriormente.

POSTULADO – É a primeira proposição a ser usada, por isso tem que ser aceita sem demonstração mas, deixa de ser chamada de teorema para ser chamada de postulado.

PRINCÍPIO – Tal como na geometria, a física também parte de proposições não demonstradas, mas prefere chamá-las de princípios.

TERMO NÃO DEFINIDO E CONCEITO PRIMITIVO – Já vimos que cada teorema deve ser deduzido de proposições anteriores, já aceitas. Analogamente, cada termo de uma proposição deve ser definido usando-se termos já definidos anteriormente.
Para dar a partida neste encadeamento lógico teremos que começar com alguns termos que não podem ser definidos, por isso chamados Conceitos Primitivos. Ex.: comprimento, tempo, temperatura, carga elétrica, reta, etc.

DEFINIÇÃO – É a expressão breve e completa do que se deve entender por alguma coisa, seja ela um termo, um objeto, um ser ou uma idéia.
Ao contrário do teorema, a definição não se prende logicamente à nenhuma proposição anterior. Isto quer dizer: voce pode deduzir um teorema de outro anterior, mas, não pode deduzir uma definição de outra já existente. Em outras palavras: voce pode entender um teorema, mas, não pode entender uma definição. Podemos dizer, em última análise; uma definição não passa de uma convenção.

LEI EMPÍRICA – São aquelas leis estabelecidas experimentalmente. A certeza de uma lei empírica não é absoluta, mas estatística.

INDUÇÃO – É o raciocínio pelo qual se passa de proposições menos gerais para uma outra mais geral, apoiando-se na experiência.

DEDUÇÃO - É o raciocínio pelo qual se passa de proposições mais gerais para uma outra menos geral, sem recorrer à experiência.

LEIS QUALITATIVAS E LEIS QUANTITATIVAS – Voce descobriu sozinho que “ todo corpo cai ao ser solto”. Também já deve ter descoberto que, durante a queda, a velocidade do corpo aumenta. Mas, estas duas leis empíricas são Qualitativas, e as que mais interessam são as Quantitativas. Não basta saber, por exemplo, que a velocidade do corpo “aumenta” durante a queda. O que se quer saber é: de “quanto aumenta”?
As leis físicas quantitativas podem ser representadas por equações matemáticas, como teremos ocasião de usá-las, mas são aproximadas, sendo válidas apenas dentro de certos limites.


OBSERVAÇÃO EXPERIMENTAÇÃO – Para estabelecer leis empíricas precisamos fazer observações e experimentações.
Observar é estudar um fenômeno tal como ele se apresenta na natureza. Experimentar é estudar um fenômeno planejado pelo investigador.

HIPÓTESE – É uma suposição que se faz à respeito de alguma coisa. É uma espécie de explicação provisória de um fenômeno, por meio da qual se procura antecipar uma lei.
Ao emitir uma hipótese, o cientista tenta explicar os fatos já conhecidos. Mas, isto não é o mais importante. O que realmente importa é deduzir da hipótese formulada uma série de conclusões lógicas e planejar experiências para verificá-las. Se houver acordo entre as conclusões tiradas e a realidade, a hipótese está confirmada.

TEORIA – Com o decorrer do tempo o número de leis empíricas foi aumentando tanto que se tornou necessário ordená-las logicamente, agrupando-as de modo que várias delas pudessem ser deduzidas de uma única hipótese mais ampla. Esta hipótese mais ampla, mais geral, capaz de explicar um grande número de leis, recebeu o nome de teoria.
A hipótese é uma suposição feita “ a priori “, enquanto que a teoria, além de ser mais geral do que uma simples hipótese, é uma suposição feita “ a posteriori “. Há entretanto hipóteses que evoluem e se transformam em teorias, podendo mesmo chegar a se tornar leis muito gerais. Isto aconteceu, por exemplo, com a hipótese de Newton à respeito da atração entre dois corpos.
Da hipótese de Newton foi possível deduzir uma série de leis empíricas já conhecidas na ocasião: as leis da queda livre, e as leis de Kepler sobre o movimento dos planetas, transformando a hipótese de Newton em uma teoria a qual foi confirmada mais tarde por Cavendish, por meio de medições diretas. Outras descobertas na astronomia foram possíveis devido a essa teoria que então passou a ser uma lei, isto é: lei de Newton da gravitação universal.

******************************************************************  


COMO APRESENTAR AS QUANTIZAÇÕES?

Quando apresentamos resultados numéricos (aplicação de funções), para que sejam perfeitamente compreendidos, devemos organizá-los utilizando-se tabelas, gráficos ou equações. Cada um desses meios tem as suas vantagens e limites. Senão, vejamos:

tabelas tem vantagem para aplicação dos valores ali lançados (abscissas e ordenadas), sem necessidade de efetuarmos novos cálculos para cada um desse pontos coordenados, uma vez que isto já foi realizado. A desvantagem da tabela é devido a interpretação do tipo e do comportamento da lei de associação ou função (linear, afim, quadrática e etc.) que dá origem aos valores tabelados e também, dependendo da quantidade de pontos, quando são em grande quantidade, torná-la cansativa, ou super-dimensionada para a pesquisa que queremos realizar e por outro lado, quando se quer valores de pontos que não estão na tabela, então, o seu uso fica à desejar.

Gráficos são adequados para visualmente mostrar o comportamento da função que se usa e de certo modo, o seu tipo (linear, afim, quadrática e etc.). Mas, eles também, dependendo da escala usada e da quantidade de pontos, podem torná-los inadequados para as nossas pretensões, principalmente quando precisamos saber valores (imagens) de pontos que não foram plotados

.
Equações são vantajosas nos seguintes aspectos: permite que tenhamos conhecimentos do tipo delas (linear, afim, quadrática e etc.) e quaisquer valores de pontos, tanto de abscissas quanto de ordenadas que queiramos. As desvantagens: a maior delas é a sua obtenção! Também, quando não se tem uma representação gráfica das mesmas, a interpretação dos comportamentos para intervalos de seus domínios (crescentes, decrescentes, constantes,etc), ficam seriamente comprometidos. 


*************************************************************************************************************************

Fatoração de Horner e algo mais sobre calculadoras

Os professores ao ensinar aos seus alunos o que é valor numérico (v. n.) de um polinômio, falam algo assim: “ substituímos na equação dada, a letra que representa a variável por um número indicado e efetuamos os cálculos cujo resultado, é o valor numérico desse polinômio quando a variável assume esse determinado valor”! O polinômio dado sendo do 1º grau, não produz nenhuma dificuldade para os alunos calcularem vários v. n. que se obtêm para vários valores atribuídos para a variável. Exemplo: seja P(x) = 3 x – 1... obter o v. n. para x=2, x=5, x=13 e x=15.
Então fazemos:

P(2)= 3 * 2 -1 => P(2) = 6 -1 => P(2) = 5 (v. n.);
P(5)= 3 * 5 – 1 => P(5) = 15 -1 => P(5) => 14 (v. n.); 
P(13) = 3 * 13 – 1 => P(13)= 39 – 1 => P(13) = 38 (v. n. ) e 
P(15) = 3 * 15 – 1 => P(15) = 45 -1 => P(15) = 44 (v. n. ) e assim, em cada um desses casos, basta o aluno realizar uma multiplicação e uma soma para obter um v. n! Agora, vejamos o que acontece se o polinômio fosse do 2º grau, ou seja: P(x)= 3 x ^ 2 - 1 achar o v. n. para x=2, x=5, x=13 e x=15.
Então nesse caso fazemos:

P(2)= 3 * 2^2 -1 => P(2) = 3 * 4 -1 => P(2) = 12 -1 => P(2) = 11 (v. n.);
P(5)= 3 * 5^2 – 1 => P(5) = 3 * 25* -1 => P(5) = 75 -1 => p(5) = 74 (v. n.);
P(13) = 3 * 13 ^ 13 – 1 => P(13)= 3 * 169 – 1 => P(13) = 507 – 1 => P(13) = 506 (v. n. ) e
P(15) = 3 * 15 ^15 – 1 => P(15) = 3 * 225 -1 => P(15) = 675 – 1 => P(15) = 674 (v. n. ).

Portanto, em cada uma dessas buscas de v. n. o aluno teria que fazer duas multiplicações e uma soma ( mas, realizaria mais uma multiplicação e uma soma a mais se o polinômio fosse completo). E isso continua com outros polinômios de grau n mais elevado e sendo obrigado a realizar... mais e mais multiplicações e somas de termos, principalmente, se o polinômio dado for da forma completa. Nessa hora, se o indivíduo não dispuser de pelo menos, de uma calculadora
simples a sua tarefa deverá pelo menos se estender por vários minutos do seu precioso tempo (coisa que será contornada pelo uso de calculadoras programáveis e de computadores) e dependendo da dimensão da tarefa, a pessoa acaba desistindo dela. O uso de uma calculadora simples, no entanto, apenas minimiza o sofrimento e o tempo de execução. Mas, aí faz-se uma pergunta de praxe: “ não há uma maneira mais camarada para se calcular isso”? Dependendo de mim, eu respondo: “claro que existe! E atende pelo título de... fatoração de Horner”!
O método de fatoração de Honer, quando empregado na procura de v. n. dessas equações, facilita de tal forma que, mesmo que efetuemos os cálculos manualmente, tenhamos redução de tempo nessa tarefa. Vamos apresentá-la: seja...
 P(x)=an x^n + an – 1 x^n-1 + a2x^2 a1x + a0
=(anx^n-1 + an-1x^n-2 +... + a2x + a1)x + a0
=((anx^n-2 + an -1x^n-3 + … + a2)x+ a1)x + a0
. . .
. . .
. . .
=((... (anx + an-1)x +... + a2)x + a1)x + a0.
//
n-1 parênteses

em sua forma algébrica, mas, já notamos por aí que, todas as potências são transformadas em multiplicações, tendo todas as variáveis x expoente igual a um e de sorte que, quando tivermos polinômios completos de grau n, faremos n multiplicações e n somas. Ilustremos isso com exemplos : o primeiro... P(x)= 3 x ^ 2 - 1 que é um polinômio do 2° grau, incompleto o qual, anteriormente já resolvemos pelo método tradicional, então, fatorado pelo método de Horner, fica assim: ordenando-se em ordem decrescente segundo as potências da variável x, assim...


P(x)= 3 x ^2 + 0 x – 1; e aplicando Horner... obtemos: P(x)=(3*x + 0)x - 1.
E para x=2, x=5, x=13 e x=15 realizamos:

P(2)=(3*2 + 0)2 -1=> P(2)= 6*2-1=> P(2)=12-1=> P(2)=11 v.n.

P(5)=(3*5 + 0)5-1=> P(5)=(15)5-1=> P(5)=75-1=> P(5)=74 v.n.

P(13)=(3*13 + 0)13-1=> P(13)=(39)13-1=> P(13)=507-1=> P(13)=506 v. n.

P(15)=(3*15 + 0)15-1=> P(15)=(45)15-1=> P(15)=675-1=> P(15)=674 v. n. procurado.

Vamos dar mais dois exemplos onde: primeiro faremos a fatoração e em seguida procuramos o v. n. para o x=5:
seja...


P(x)=2x^4 – 5x^3 – 2x^2 + 4x – 8
P(x)=((2x^2 – 5x -2)x + 4)x -8
P(x)=(((2x – 5)x – 2)x) +4)x – 8 pronto, agora para achar o v. n. para x=5, temos:

P(5)=((( 2*5 -5)5 -2)5 +4)5 -8
P(5)=((( 10 -5)5 -2)5 +4)5 -8
P(5)=((5*5 -2)5 +4)5 -8
P(5)=((25 -2)5 -2)5 +4)5 – 8
P(5)=((23*5 +4)5 -8
P(5)=(115 +4)5 -8
P(5)=119*5 -8
P(5)= 595 -8
P(5)=587 que é o v. n. Veja que realizamos quatro multiplicações e quatros somas.
Passemos ao próximo polinômio:

P(x)=3x^9+2x^8–10x^7+2x^6–5x^5–3x^4+2x^3– 6x^2+3x-5
P(x)=(3x^8+2x^7–10x^6+2x^5–5x^4–3x^3+2x^2– 6x+3)x-5
P(x)=((3x^7+2x^6–10x^5+2x^4–5x^3–3x^2+2x– 6)x+3)x-5
P(x)=(((3x^6+2x^5–10x^4+2x^3–5x^2–3x+2)x– 6)x+3)x-5
P(x)=((((3x^5+2x^4–10x^3+2x^2–5x–3)x+2)x– 6)x+3)x-5
P(x)=(((((3x^4+2x^3–10x^2+2x–5)x–3)x+2)x– 6)x+3)x-5
P(x)=((((((3x^3+2x^2–10x+2)x–5)x–3)x+2)x– 6)x+3)x-5
P(x)=(((((((3x^2+2x–10)x+2)x–5)x–3)x+2)x– 6)x+3)x-5
P(x)=((((((((3x+2)x–10)x+2)x–5)x–3)x+2)x– 6)x+3)x-5

está aí a nossa fatoração de Horner para o polinômio dado. Agora vamos calcular o v.n. Para o x=7 (vamos pintar o sete?), assim... teremos:

P(7)=((((((((3*7+2)7–10)7+2)7–5)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5
P(7)=((((((((21+2)7–10)7+2)7–5)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5
P(7)=(((((((23*7–10)7+2)7–5)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5
P(7)=(((((((161–10)7+2)7–5)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5
P(7)=((((((151*7+2)7–5)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5
P(7)=((((((1057+2)7–5)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5
P(7)=((((((1059)7–5)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5
P(7)=(((((1059*7–5)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5
P(7)=(((((7413–5)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5
P(7)=(((((7408)7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5
P(7)=((((7408*7–3)7+2)7– 6)7+3)7-5
P(7)=((((51856–3)7+2)7– 6)7+3)7-5
P(7)=((((51853)7+2)7– 6)7+3)7-5
P(7)=(((51853*7+2)7– 6)7+3)7-5
P(7)=(((362971+2)7– 6)7+3)7-5
P(7)=((362973*7– 6)7+3)7-5
P(7)=((2540811– 6)7+3)7-5
P(7)=(2540805*7+3)7-5
P(7)=(17785635+3)7-5
P(7)=17785638*7-5
P(7)=124499466-5
P(7)=124499461 que é o v. n. procurado.

Note que, com nove multiplicações e também nove somas, realizamos a tarefa.
E por falar em tarefa, essa aqui por exemplo; se tivermos apenas uma calculadora simples, mais cedo ainda daremos conta dela, bastando para isso que a mesma esteja funcionando corretamente. Sabe como testar? Digite o número: 12345679 e multiplique-o por 9. No display da calculadora deverá aparecer E1111111 (caso ela tenha apenas 8 dígito, devido ao estouro de memória) ou 111111111 se for uma máquina de 9 ou mais dígitos. Mas, (ATENÇÃO!!!!!): caso apareçam outros dígitos diferentes de 1 no resultado, então, a sua calculadora está defeituosa e não merece confiança. Estando ok, então eu vou lhes explicar como utilizar a memória dinâmica das calculadoras ( a maioria possuem) no emprego de certos cálculos com valores fixos na forma de parcelas, fatores, subtraendos e quocientes, quando vão ser seguidamente utilizados. Vamos considerar o caso de uma parcela, por exemplo: 37 a qual deverá ser somada aos números: 205, 25, 861, 147 e 53.
Então, o que você deve fazer em primeiro lugar é digitar o 37, a tecla de + (soma) e em seguida... apertar a tecla de igual e só! Não se importe com o valor que será apresentado no display da sua calculadora e seguidamente... vá digitando, por vez, um a um aqueles números e ao escrever cada um deles, aperte a tecla de igual e no display você verá a soma do número digitado mais 37. Por exemplo: digitado o 205, apertando-se a tecla de igual, no display aparecerá a soma 242 que é o resultado de... 205 + 37 e agora... sem apagar nada, digitamos em seguida o próximo número o 25 e apertamos o igual e veremos no resultado... 62. E assim continua-se até o último número.
Do mesmo modo agiremos para as outras operações, ou seja: digamos que queremos usar o 37 como quociente para aqueles mesmos números... 205, 25, 861, 147 e 53, então, agora devemos teclar o 37, em seguida a tecla de (/) divisão, seguida de igual, não se apaga nada do que aparece como resultado na calculadora, bastando agora ir escrevendo cada um número por vez, apertando igual e lendo o resultado da divisão. Por exemplo:
digitando-se o 37, depois a tecla de divisão e em seguida a de igual, não apaga-se nada, digita-se agora o 205 e apertando o igual podemos ler no display... 5.5405405 (calculadora de 8 dígitos) que é o quociente de 205 dividido por 37.
Portanto, para qualquer uma das operações fundamentais, o uso da memória dinâmica das calculadoras (quando disponível) tornará o trabalho do cálculo ainda mais rápido, quando comparado com o emprego das outras memórias, uma vez que diminuímos a quantidade de toques no teclado da máquina.

Natal, 31/10/2010.


Resumo da Comunicação apresentada por mim na XXII Semana de Matemática da UFRN em 29/10/2010.
 Francisco Valdir de Lima.

***************************************************************************

O SELO DE MAOMÉ
Solução para o "desafio com arte" lançado na postagem da página inicial.
Aqui está a solução que eu encontrei para o "desafio com arte" que consiste em um traçado contínuo e sem haver justaposições de caminhos já trilhados, para formar a figura do duplo crescente otomano conhecido como: "o selo de Maomé". A realização do meu trabalho é auto explicado através das imagens abaixo.










































***************************************************************************


PÉ EMBAIXO NO ACELERADOR!!!!
Solução para o "circuito de velocidade nas pontes com konigs/Berg" lançado na postagem da página inicial.
Aqui está a solução que eu encontrei para o desafio que consiste em um traçado contínuo e sem haver justaposições de caminhos já trilhados, para que a dupla campeã de "rallis nos canaviais", Konigs o piloto e Berg o navegador, consigam ganhar o prêmio. Para todos os leitores, que como o Rafael, pensaram que eu estava fazendo uma "pegadinha" (o verdadeiro problema das sete Pontes de Konigsberg, não pode ser solucionado, mas, nessa adaptação minha,  baseada numa publicação especial da revista Superinteressante, pode apresentar essa solução) de primeiro de abril, quero afirmar que... pelo medo que sentiram então, de fato, vocês... findaram caíndo nela, pois não era mentira, o desafio tem solução! Obrigado pela atenção! Sigam a poeira deixada no traçado do canavial, com a dupla Konisgs/Berg, cruzando as pontes na realização do meu trabalho que é auto explicado através das imagens abaixo. Valeu!



***************************************************************************


Frase enigmática indutiva.


"Os descendentes de Matusalém"!!!!




Justificativas:
a) Na cor vermelha temos... dez seres desdentados, ou seja: os dez, sem dentes.
b) Na cor azul vemos os mapas dos estados: MT e MS, portanto, matos... e também, a figura de uma pessoa, fitando algo lá ao longe, além do horizonte.

*********************************************************************************
ATENÇÃO!!!! Para aqueles leitores que gostam de ler ou saber sobre as minhas invenções, 
postei uma nova criação (2 em 1) com o título... "Nuvem Sólida" aqui no blog na página 
"PENSO, LOGO INVENTO"!!!!!
Obrigado!!!!!
*********************************************************************************

20/08/2014
*********************************************************************************
Heads up !!!! For those readers who like to read or know about my inventions, I 
posted a new creation (2 in 1) with the title ... "Solid Cloud" here on the blog page 
"THINK, THEN THE INVENTION" !!!!! 

Thank you !!!!!
*********************************************************************************  

***************************************************************************




  
AVISO IMPORTANTE!!!!!


Sendo você um estudante de ciências exatas, se precisar de usar algumas das fórmulas da fisica e/ou matemática, lhe aconselho acessar esses link  http://professoradanielamendes.blogspot.com/search/label/Bizuzinhos%20e%20Macetes%20p%2F%20vestibular 
pois  a professora Daniela, nos brindam  com uma coletânea bem organizada nos seus blogs. Confiram!
***************************************************