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domingo, 27 de maio de 2012

CALCULAR A RAIZ CÚBICA MANUALMENTE... PELAS DICAS DO JOÃO!!!!!

As dicas do João!!!!! 
Das atividades da blogsfera, a que mais salta à vista, pela usubilidade, sem dúvidas que são, as postagens em blogs e/ou sites! Eu tenho o meu já faz 2 anos e “vai muito bem”, obrigado!! Eu não possuia computador, nem siquer navegava pelas Lan Houses, mas, alimentava o desejo de posuir um bom equipamento e construir um site onde eu queria mergulhar nesse universo de interatividades as mais diversas! E foi o que aconteceu, tempos mais tarde, comprei o micro, me cerquei de informações de como fazer um blog (não sabia o que era), pagar serviço de internet de banda larga, fazer postagem e por aí vai!!!


                                                 crédito: www.imagensengraçadas.com.br

Comecei os trabalhos no meu blog, de início, timidamenete, óbvio, mas, não demorou muito e eu já me empenhava em me comportar dentro da blogosfera em favor de uma maior comunicação entre os donos de blogs!!! Que paradoxo!! Um veículo para promover ainda mais a comunicação entre as pessoas e elas não desenvolviam a salutar prática da comunicação, mesmo a mais comum, que são os comentários a respeito dos posts escritos por alguém, que muitas vezes são sequiosos por esses pronunciamentos, uma vez, que os mesmos permitem ao dono do blog, ter uma referência sobre a qualidade e/ou aceitação dos seus artigos, entre outras informações vindas daí!!! Fiz campanha em prol de uma maior comunicabilidade entre os usuários de blogs, para que opinassem a respeito dos trabalhos examinados, dizendo se gostara ou não, para complementar a postagem com mais informações sobre os assuntos expostos, para agradecer simplesmente, por alguma coisa que lhe fora útil e etc. Sei que não posso mudar o mundo, mas, posso garantir que muitos dos amigos que fiz na rede, passaram a fazer mais comentários de qualidade ( comentários bumerangues, aqueles que se estendem num vai e volta!) e numa fequencia muito maior do que havia antes!!! Fazia mais de um ano que eu postara uma técnica de extração de raízes quadradas de forma manual, por um processo ou método que fora abandonado devido ao aparecimento das calculadoras e dos micros computadores, então, como eu sou contra que se deva ser completamente dependente de equipamentos para a realização de tarefas, fiz o resgate do método manual para a extração da raiz quadrada de um número dado, o que se faz com a precisão de uma calculadora! E no mesmo dispositivo usado, eu me lembrava que a raiz cúbica de números, também podia ser calculada, só não conseguia recordar como!!!! A postagem da extração das raízes quadradas de forma manual, é disparada, a mais lida e acessada das postagens no meu blog!!! No início, ela recebeu vários comentários e ficou órfã deles, até que um belo dia desses, eu recebo esse aqui: 

                                                Crédito: www.paginadakarin.blogspot.com

Conheço este método de calcular raiz quadrada desde meus 12 anos de idade e hoje estou com 48 anos de idade.  Tentarei postar aqui a variação do método que permite o cálculo de outras raízes de índices igual e maiores que 2.  1) Separa-se os algarismos do radicando a partir da direita para a esquerda de 2 em 2, 3 em 3, 4 em 4, etc. conforme o índice do radical seja 2, 3, 4, etc.  Exemplo: raiz cúbica de 15625 -> 15.625  2) Determina-se a raiz enésima (2, 3, 4, etc.) do primeiro grupo à esquerda do radicando. Exemplo: raiz cúbica de 15 = 2. 3) Junta-se o primeiro grupo já calculado ao segundo grupo à esquerda.  Exemplo: 15.625  4) Tenta-se agora justapor um algarismo de 0 a 9 à direita da primeira raiz cúbica calculada (2) de modo que o cubo desse número formado seja igual ou imediatamente menor que o radicando.  Exemplo: 21 x 21 x 21 = 9261, 22 x 22 x 22 = 10648, 23 * 23 * 23 = 12167, 24 * 24 * 24 = 13824, 25 * 25 * 25 = 15625.  Logo, a raiz é exata e igual a 25.  4) Caso a raiz não fosse exata e quiséssemos continuar sua extração até uma certa quantidade de casas decimais, bastaria acrescentar 2, 3, 4, 5, etc. zeros à direita do radicando conforme o índice da raiz seja 2, 3, 4, 5, etc. e repetirmos os passos anteriores. 

Então, de imediato eu lembrei que, para a extração da raiz cúbica de um número, utilizando aquele dispositivo que é usado na extração da raiz quadrada, havia mudanças na separação dos algarismos do número dado, no sentido da direita para a esquerda em grupos de três em três, podendo o grupo mais à esquerda ter menos que três algarismos. A outra mudança era... a permanência continuada dos algarismos a partir do grupo na extrema esquerda ser acrescido pelos algarismos do próximo grupo, formando um novo radicando parcial e para o qual, também, acrescentando-se um algarismo de zero ao 9 à raiz parcial existente, acharmos um cubo perfeito ou o mais próximo do valor da vez.
Graças ao João, lembrei disso e também fiquei sabendo que podemos extrair por esse processo, ene-ésimas raízes para um número dado! Pensei em fazer uma postagem a respeito disso e... procurei convidar ao João Labrego, através desse comentário: 

Olá, João Labrego!!!! Lembro de ter calculado algumas vezes, uma raiz cúbica por esse processo, o qual só recordava ser um pouco diferente do que se faz para a extração de uma raiz quadrada, pela maneira que agora você demonstrou e eu imediatamente recordei dela, em se acumular do lado do radicando, esses grupos de três à três, formados da direita para a esquerda, podendo à esquerda termos a presença de três, dois ou apenas um só algarismo.  Eu até que tentei me lembrar desse processo, muito parecido com o que fiz na postagem aqui sobre a extração da raiz quadrada, mas não consegui! Imagino que o amigo deve gostar de matemática, talvez possua um blog e seja formado também nessa ciência ou não? Gostaria que fizesse contato comigo através do meu endereço: franciscovaldir61@gmail.com para tratarmos de como levar esse seu conhecimento de forma mais abrangente possível aqui na rede! E se possuir blog, seria melhor ainda! Meus parabéns, por ter feito um comentário tão construtivo e já tão útil, complementando a minha postagem tão procurada aqui no meu blog! Muito honrado com a sua visita e... volte sempre! Um abraço!!!!! 

...convite feito, como não obtive resposta do João e também, como já faz um certo tempo, resolvi fazer sozinho... essa postagem sobre esse outro modo manual para, segundo o João, a extração de raízes quadradas, cúbicas, quartas, ou seja: enegésimas raízes (eu lembrava apenas que fizera a utilização para a obtensão da raiz cúbica)  para um certo número racional dado!!!! 
"Vamos tomar, por exemplo: aquele número que utilizei na postagem intitulada: “ http://matemagicasenumeros.blogspot.com.br/2011/02/extrair-raiz-quadrada-sem-usar.html e... segundo as dicas do João, acharmos a sua raiz cúbica, então temos:




















Fig.: 01





















fig.: 02





















Fig.: 03

E assim, graças às dicas dadas pelo João Labrego, temos que a raíz cúbica aproximada a menos de um milésimo para o número... 40110 é: 34,230!!!!!
Obrigado, João!!!! É assim que se deve fazer com as informações que se tem, mesmo aquelas consideradas  velhas, ultrapassadas e/ou fora-de-moda, passe-as adiante!!!! Computadores fazem todos os cálculos se estiverem presentes e em condições de uso, senão, um processo manual é o único meio... que poderá nos tirar de uma situação problemática!!!!!

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ATENÇÃO!!!! Para aqueles leitores que gostam de ler ou saber sobre as minhas invenções, 
postei uma nova criação (2 em 1) com o título... "Nuvem Sólida" aqui no blog na página 
"PENSO, LOGO INVENTO"!!!!!
Obrigado!!!!!
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20/08/2014*********************************************************************************
Heads up !!!! For those readers who like to read or know about my inventions, I 
posted a new creation (2 in 1) with the title ... "Solid Cloud" here on the blog page 
"THINK, THEN THE INVENTION" !!!!! 

Thank you !!!!!
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domingo, 13 de maio de 2012

Solução para o desafio: "Tecnologia Extraterrestre"!!!!





Por: Francisco Valdir
Blog: Matemágicas e Números
Foi em um dia do ano de 1992, eu, Francisco Valdir, e meus colegas de turma assistíamos a uma aula de cálculo. O professor, querendo mostrar a utilização da integral para obtenção de uma área, criou uma situação problema e para nos incentivar na procura de sua solução, fazia-nos perguntas sobre como deveríamos obter os dados numéricos para a seguinte questão: em um prédio com 100 m de comprimento, 30 m de altura quer-se pintar uma parte de fachada delimitada por duas retas verticais desde o seu cimo e até ao nível do solo, tendo à sua esquerda um afastamento lateral de 5,00 m e à direita 15,00m de afastamento. A pergunta era: qual a capacidade de litros de tinta que seriam gastos nessa pintura onde a camada ficaria com 0,8 mm de espessura? Ele perguntava, qual seria a maneira mais rápida que poderíamos utilizar para delimitar as linhas verticais e paralelas dessa parte da fachada. Depois de ouvir algumas sugestões nossas, ele mesmo apresentou a dele como a mais adequada e que seria dessa maneira: de cima do prédio, operários posicionados nos devidos lugares à esquerda e à direita das laterais do edifício, fariam descer prumos até o solo, quando as linhas desses, seriam fixadas para que o serviço da pintura dessa parte da fachada fosse iniciado.
Quando ele falou que: do cimo do prédio seriam descidos prumos até ao nível do solo e as linhas verticais e paralelas servirão como delimitadoras da parte da fachada a ser pintada, eu fui pego por um pensamento que me assaltou na hora, que me avisava do não paralelismo dessas retas verticais laterais tomadas dessa forma! Deixei que a aula seguisse o seu curso normal e o professor nos mostrou que a área daquele retângulo o qual seria a mesma, caso se calculasse isso, tanto pelo modo clássico (base X altura) ou pelo cálculo integral, este com a vantagem de se determinar áreas onde as linhas horizontais superiores e/ou inferiores do gráfico, não sejam funções lineares!
Quando ele chegou ao resultado da capacidade da quantidade de tinta que seria usada na pintura, eu então levantei a questão que aquele resultado não seria exato! Claro, que ele retrucou, dizendo que o uso do cálculo com integrais era para garantir a exatidão das medidas nos resultados e ele não sabia por que eu contradizia a verdade lógica disso. Falei então, que via que o erro era devido pela afirmação do paralelismo das linhas verticais obtidas através do uso de prumos. Desse modo, a área que tínhamos para calcular não era a de um retângulo e sim a de um trapézio isósceles! Ele demorou um pouco para entender a minha observação, e para ajudá-lo eu falei que se: as paredes são erguidas verticalmente com auxílios de prumos que se dirigem para o centro da Terra! E quanto maior a altura de um edifício e afastamento de suas paredes laterais, a área trapezoidal de sua fachada sempre será maior do que aquela que supomos ser perfeitamente retangular! Os prédios não são prismas retangulares retos e sim, troncos de pirâmides ou tronco de cones em se tratando de edifícios cilíndricos!
Depois disso, o professor entendeu e me deu razão sobre essa minha descoberta, Chamou a atenção dos meus colegas sobre essa curiosidade a qual, confessava ele, nunca ouvira ninguém falar nela, mas, por outro lado, dizia que esse erro para pequenas dimensões, isso era desprezível!
E o assunto foi por mim esquecido, até que em uma conversa que tive com o meu amigo e parceiro de blog, o professor Kleber Kilhian do blog: O Baricentro da Mente e por ocasião da postagem de numero 200, para comemoramos o feito, realizamos um artigo conjunto em parceria e o postamos em ambos os blogs, tendo o título: Desafio: Tecnologia Extraterrestre!
Pedimos que quem tivesse alguma solução para o mesmo, poderia nos contatar através dos nossos endereços de e-mail e/ou nas caixas de comentários dos nossos blogs e prometemos, caso ninguém atinasse com a solução, que postaríamos isso da nossa parte em uma data qualquer no futuro!
Estamos fazendo isso agora, novamente como o da 1ª vez, em um trabalho cooperativo, publicamos simultaneamente em ambos os nossos blogs, a resposta ou solução àquele desafio!
Por fim, digo que: com certeza você agora veja as paisagens dos prédios no mundo, como eu percebia, isto é: uma visão com outros olhos!!!!!
Algumas considerações sobre o problema
Como a base do silo é construída sobre a superfície terrestre, mesmo sendo uma superfície “plana” e “nivelada”, ocorre que para uma área extensa, temos que considerar a curvatura da Terra, analogamente, quando se quer fazer disparos de projéteis a longas distâncias, tem que considerar o movimento da Terra.
Se para cada par de pontos relativamente próximos, temos uma linha reta, quando tomarmos dois pontos extremos, teremos um arco, assemelhando-se com a curvatura da Terra.
image
[Figura 1]
Desta forma, podemos esboçar um esquema representativo da situação:
image [Figura 2]
Vemos que o silo tem a forma de um tronco de cone, cuja base menor coincide com a curvatura da Terra. Então, não seria bem um tronco de cone, mas um tronco de cone no qual foi subtraída uma calota esférica!
Uma forma simplista para o cálculo do volume deste silo seria:
clip_image006
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Mas vejam que estamos considerando a plataforma da astronave, que é a base superior do cone, como ideal, ou seja, que fosse totalmente “plana”. No entanto, estamos no mundo das suposições e não sabemos em quais condições esta plataforma foi construída. Devido à sua extensão, com diâmetro igual a 10,1km, se sua construção for feita sobre a superfície do exoplaneta, cujo raio é aproximadamente igual ao da Terra, então o silo possivelmente se assemelhará a um tronco de cone, pois o volume das calotas esféricas se “anulariam”.
Este é um problema curioso e por ser fictício e fora de nossa realidade, deixa muitos pontos em aberto. Podemos nos perder em nossas elucubrações, gerando infinitas possibilidades e detalhes, o que nos levaria a cálculos imprecisos.
Assim, não precisamos resolver numericamente o problema para perceber que o erro está na sutilidade em considerar o silo como um cilindro e não como um tronco de cone.

Veja mais: Desafio: Tecnologia Extraterrestre
Blog Matemágicas e Números

domingo, 6 de maio de 2012

UMA AULA NO DESERTO!!!!!

O Malba Tahan nunca pisou em terras árabes! No entanto, com o poder da sua mente prodigiosa e o dom da criação literária de que era capaz, escreveu 117 livros e muitos deles, focados na matéria de que mais gostava, a matemática, pois para quem ainda não sabe, o nome... Malba Tahan (el-hadj cherif Ali Iezid Izz-Eduim Ibn Salim Hank Malba Tahan), era o pseudônimo criado pelo professor brasileiro, matemático... 

                                                 Créditos: www.ubmatematica.blogspot.com

Júlio César de Melo e Souza, carioca, nascido em 06/05/1895 e que lançou esse peseudônimo para poder contornar o preconceito que os editores faziam na época, com os autores brasileiros!!!! O estratagema deu resultado e o seu primeiro livro foi rapidamente editado... “O homem que calculava”, onde o personagem... Beremiz Samir, um sábio calculista árabe, resolvia brincando, os cálculos mais intrigantes que encontrava em suas andanças pelos desertos das terras árabes. Esse livro até nos dias atuais faz sucesso, com novas edições, depois de mais de 24 milhões de exemplares traduzidos e vendidos para mais de 80 países!!!! O Malba Tahan, achava que tinha a missão de ensinar a matemática sem complicá-la e dizia: “ quem complica a matemática não gosta dela, é um sádico que se diverte vendo os alunos sofrerem”, por isso, elaborou uma abordagem dos conteúdos matemáticos através de práticas lúdicas, com questões interessantes e soluções que pareciam impossíveis, de serem possíveis, através de criatividade com coisas já vistas e estudadas no Cálculo!!!! Legiões e mais legiões de bons professores de matemática, surgiram no Brasil, depois que o Malba Tahan começou a lançar os seus livros e tinha na pessoa do professor Júlio César de Mello e Souza, um seguidor fiel dessa maneira lúdica e criativa, na maneira de se lecionar e exorcizar os medos sobre essa matéria tão temida e odiada!!!! Eu quando pequeno, já gostava de matemática e passei a adorá-la, quando tive a oportunidade de ler o livro... “O homem que calculava”! Que maravilha!! Recomendo que você, caro 

                                                       Créditos: www.umaseoutras.com.br

leitor, leia essa obra, também!!! Imperdível!!!! Superinteressante!!!!! O Malba, pensava assim: “estaria agindo de forma errada” o educador que, ao abordar um conteúdo matemático para os seus alunos e, mais ainda quando estes já o consideravam tal conteúdo como um “monstro”, um “bicho-de-sete-cabeças” e por sua vez, esse educador não aliviava a coisa e ao contrário, tornava o “monstro” muito maior e ainda mais feroz!!!! Imagino para exemplificar a didática do Malba Tahan, ele estando em uma excursão escolar na companhia de seus... 64 alunos da UBM (??????), estando a visitar o Templo de Karnak, no Egito e apesar 

                                         Créditos: www.matematicaematematica.blogspot.com
de se estar em um passeio, surgisse o assunto de ser, por exemplo: o logaritmo, como sendo um dos mais incompreensíveis dos conteúdos da matemática!!!!! Ah, é????? Então, imagino... que o Malba não deixaria passar a oportunidade para exorcisar mais um “demônio da matemática”!!!! Como ele faria isso????? Imaginação à mil, acredito que ali, no pátio do templo, cercado por aquelas fileiras laterais de esfínges, ele utilizaria dois tabuleiros de xadrez e... pederia que cada um dos 64 alunos, escolhesse um elemento do conjunto... A = {1, 2, 3, 4, 5,...,62, 63, 64} para si, números lançados nas casas do primeiro tabuleiro e que respectivamente a essa mesma posição no segundo tabuleiro, guardasse para si, um desses números do conjunto E = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...,62, 63} , onde em ordem crescente, esses elementos 

                                                      Créditos: www.egypten.varberg.dk

corresponderiam às casas no tabuleiro, onde: o 0 estaria na 1ª casa do tabuleiro (segundo tabuleiro de xadrez), o 1 estaria na sua 2ª casa, o 2 na 3ª casa, o 3 lá na 4ª casa e assim... até atingir-se o 63 que ocuparia a última casa do tabuleiro que é a sua 64ª casa!!!! Também, ele pederia que após cada um dos

                                                 Créditos: www.drikamath.wordpress.com

alunos ter escolhido a sua casa posicionada sobre os tabuleiros um após o outro, por exemplo: a Drika Mendonça, que havia escolhido o número 1 na 1ª casa do primeiro tabuleiro e por isso, usaria o número 0 (zero) também, na 1ª casa do segundo tabuleiro, usasse fazer uma potenciação de base 2 elevado ao expoente igual seu número no tabuleiro e guardar o valor da potência calculada, ou seja... 2 ^ 0 = 1, então ela escreveria esse resultado em uma folha de papel e o mostraria ao 2º aluno, o Kleber Kilhian que era representado pelo número 2 no primeiro tabuleiro e pelo número 1 no segundo tabuleiro (2ª casa em cada tabuleiro ), então por sua vez, ele tomaria essa potência calculada pela Drika Mendonça e dobraria o seu valor, obtendo... 1 * 2 = 2! O que correspondia à potência para 2 ^ 1 = 2! Daí, escreveria em uma folha de papel e mostrraria essa potência registrada para o 3º aluno, a Professora... Juliana Agostinho e que dobraria esse resulado… 2 * 2 = 4! Ou seja: 2 ^ 2 = 4! Ela faria o registro desse valor e mostrava-o de imediato para o 4º aluno, o Paulo Sérgio e que faria: 4 * 2 = 8! Que é igual a... 2 ^ 3 = 8! Valor registrado e repassado para ser duplicado pelo próximo aluno... e assim, sucessivamente... até que o penúltimo aluno depois de ter dobrado a potência do aluno anterior, guardasse para si o produto de... 2305843009213693952 * 2 = 4611686018427387904 e que é igual à potência de 2 ^ 62!!!! E finalmente, o último aluno, o 64º aluno, dobraria aquele valor, obtendo... 4611686018427387904 * 2 = 9223372036854775808 e que é igual a se fazer... 2 ^ 63!!!! Agora, ele chamaria a atenção para o tabuleiro com as marcações em cada uma das suas casas numeradas por: 1, 2, 3, 4, 5,... 61, 62, 63 e 64 eram os numerais cardinais respectivos para... o 1º, 2º, 3º, 4º, 5º,... 61º, 62º, 63º e 64º e cuja sequência numérica, era uma progressão aritmética crescente e de razão r igual a 1. Diria que, as potências que cada um dos alunos calcularam e guardavam, por exemplo: o primeiro aluno, obtivera 1 (escrito em uma folha de papel) devido ao resultado de... 2 ^ 0 = 1 e o 0 (zero), expoente da base 2, constava na 1ª casa do segundo tabuleiro, que apresentava em sua 2ª casa o valor 2 que foi a potência calculada pelo segundo aluno, através de... 2 ^ 1 = 2 e de sorte que continuando-se tinha-se na última casa desse tabuleiro, o valor... 63 que era o expoente para... 2 ^ 63 = 9223372036854775808 potência essa que esse aluno guardava escrita também em uma folha de papel e essa sequência de: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,... ,9223372036854775808, formava uma progressão geométrica de razão q = 2!!!! -“Meus senhores e minhas senhoras!!! Caros alunos”!!! No confronto dessas duas sequências com os valores lançados em suas respectivas posições, vamos agora na comparação entre essas duas sequências, uma P. A. de razão r=1 e um P. G. de razão q=2, saber o que é... um LOGARITMO!!!!

                                               Créditos: www.fernandoloppes.blogspot.com

Para existir esse tal de logaritmo, 1º):
temos que garantirmos que a BASE usada na operação seja positiva e diferente de 1!!!! Para a nossa demonstração usamos a base 2!!!! 2º):
também, temos que procurar LOGARITMO apenas de números positivos, tais como os da nossa sequência … 1, 2, 3, 4, 5,... ,922337203685477. Garantido isso, vamos dar o primeiro exemplo de logaritmos perguntando ao aluno... Fernando Lopes que é o 16º aluno posicionado no primeiro tabuleiro (P. A.) qual é a potência que você tem???? 32768, professor!!!! Muito bem!!!! Agora, podemos perguntar: qual é o logaritmo de 32768 na base 2???? Esse logaritmo nada mais é do que o valor do expoente que devemos elevar a base 2 para que obtenhamos a potência com o valor de... 32768!!!! E se verificarmos qual é o número que se encontra localizado na 16º casa do 2º tabuleiro veremos 15, que deve ser esse valor procurado!!! Ou seja: O logaritmo de 32768 na base 2 é o expoente 



da potenciação de... 2 ^ 15 = 2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2 = 32768!!!! O grande “mistério” fica assim desvendado!!!! O logaritmo de um certo número em uma determinada base, é o “EXPOENTE” que devemos elevar essa base, para obtermos esse número!!!!! Claro, que o Malba Tahan não ficaria só nessa explicação e exorcização das mazelas desse...”demônio da matemática” chamado de LOGARITMO!!!! Viriam as explicações criativas sobre as vantagens e a praticabilidade do seu emprego no Cálculo, particularidades dos mesmos quanto às propriedades operatórias, tipos de logaritmos, bases, mantissa, gráficos e... óbvio: as questões recreativas sobre o assunto de forma tal, que todos aqueles alunos, blogueiros e filiados à UBM... http://ubmatematica.blogspot.com.br/p/descricao-dos-blogs-filiados.html tempos mais tarde, em todo 06 de maio de cada ano, no Dia Nacional da Matemática, rendam as devidas homenagens à lembrança do professor... Júlio César de Melo e Souza, o MALBA TAHAN e ao render-se a essas homenagens, o aluno... Francisco Valdir de Lima, do blog Matemágicas e números, comparece mais uma vez nessa data comemorativa para todos aqueles que amam a matemática e seguem a missão de 



ensinar matemática, sem complicar, como aconselhava e agia o carismático... e hoje homenageado, professor... Júlio César de Melo e Souza, o MALBA TAHAN!!!!!

terça-feira, 1 de maio de 2012

"QUADRADOS MÁGICOS" DE ORDEM ÍMPAR (Parte V)!!!!!

Olá, leitores amigos!!!!
Acredito que ao apresentar esse post,  a parte V sobre os "Quadrados Mágicos" de
lado ímpar, continuação das postagens posteriores sobre o mesmo assunto, com a
apresentação de novos diagramas, possa retirar as dúvidas restantes, quanto a distribuição
dos números que preencherão o quadrado de lado ímpar que se tenha, segundo o uso
de sequências numéricas, também conhecidas por progressões aritméticas (P. A.).


                                                Créditos: www.almanaque.blog-se.com.br

A vantagem desse emprego das P. As. (sentidos das diagonais da matriz quadrada) é a
sistemática da distribuição (salvo, posições especiais como: extremidades limites, casas
já ocupadas) para os demais quadrados com lados ímpares, ou seja: em sua maioria,
ao atingir-se uma posição na última linha da matriz, continua-se na 1ª linha dela e numa
próxima coluna vizinha àquela na qual foi depositado o número antecessor. Também o
 mesmo podemos dizer para quando formos colocando os elementos de uma P. A.
de razão igual a 1, sentido descendente para a direita e paralelo à diagonal principal,
 assim que atingirmos uma posição na última coluna, devemos continuarmos na próxima
 linha da matriz e na 1ª coluna dela. Devemos observar que nessa distribuição, toda vez
 que se atinge uma casa destinada para receber um dos múltiplos do número do lado
 do quadrado, a continuação se fará na mesma coluna mas, com o salto de uma linha.
Nesses diagramas que fiz, você leitor, poderá ver isso, em: 11, 22, 33, 44, 55, 77, 88, 99, 110.

Obs. : Em todas as figuras a P. A. da diagonal principal ( outras paralelas a ela) tem razão r = 1, enquanto que a P. A. da diagonal secundária ( outras paralelas a ela) possuem razão r = n.





Fig. 01








Fig. 02




Fig. 03

QUADRADO MÁGICO DE LADO 11.




















                                                                          Fig. 04



Espero ter contribuído e ou ajudado, tanto à curiosidade quanto ao um possível estudo de
 vocês, sobre esse problema milenar que são as soluções para os "quadrados mágicos",
assunto do qual retornarei em um futuro próximo, tratando das soluções para os
"quadrados"... de lado par!!!!